FRACTALES... La Matemática "Linda"...

Fractal, en matemáticas, figura geométrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala. Normalmente los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal. Un ejemplo de fractal es el “copo de nieve”, curva que se obtiene tomando un triángulo equilátero y colocando sucesivos triángulos, cada vez de menor tamaño, en el tercio medio de los lados cada vez más pequeños. En teoría, el resultado es una figura de superficie finita pero con un perímetro de longitud infinita, y con un número infinito de vértices. En el lenguaje matemático del cálculo, dicha curva no se puede diferenciar. Se pueden construir muchas de estas figuras repetitivas aunque desde su aparición en el siglo XIX se habían considerado como un concepto extravagante.

Un cambio decisivo en el estudio de los fractales ocurrió con el descubrimiento de la geometría fractal por el matemático francés de origen polaco Benoit B. Mandelbrot en la década de los setenta. Mandelbrot utilizó una definición de dimensión mucho más abstracta que la usada en la geometría euclídea, afirmando que la dimensión de un fractal se debe usar como un exponente al medir su tamaño. El resultado es que no se puede considerar estrictamente que los fractales existen en una, dos o un número entero de dimensiones, sino que se han de manejar matemáticamente como si tuvieran dimensión fraccionaria. La curva del “copo de nieve” tiene una dimensión fractal de 1,2618.

La geometría fractal no es solamente una idea abstracta. Un litoral, considerado desde el punto de vista de su irregularidad más pequeña, tendería hacia una longitud infinita, lo mismo que ocurre con el “copo de nieve”. Mandelbrot sugirió que las montañas, nubes, rocas de agregación, galaxias y otros fenómenos naturales son similares a los fractales, por lo que la aplicación de la geometría fractal a las ciencias es un campo que está creciendo rápidamente. Además, la belleza estética de los fractales los ha convertido en elemento fundamental de los gráficos por ordenador o computadora.

Los fractales también se usan en ordenadores para reducir el tamaño de fotografías e imágenes de vídeo. En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Este descubrimiento engendró la compresión fractal de imágenes, utilizada en multimedia y otras aplicaciones basadas en la imagen.

Geometría Fractal.

La geometría fractal trata de describir objetos cuya forma es muy irregular. Técnicamente, un conjunto es fractal si su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica (La geometría fractal de la naturaleza, p.32). Esto se traduce en términos llanos en que dichos conjuntos presentan una gran rugosidad (al cambiar de escala la forma no se suaviza) y en la propiedad de la autosimilitud, por la que la forma del conjunto presenta el mismo aspecto al ser observada a distintas escalas.

Se podría dar la fecha de 1975 como inicio de la historia de la geometría fractal, pues fue en tal año cuando Benoît Mandelbrot acuñó este término. Sin embargo, nada sale de la nada, y en buena medida la genialidad del matemático francés consistió en unificar en una nueva rama de la matemática lo que hasta entonces habían sido trabajos muy separados y por lo general periféricos. Algunos de ellos fueron de tipo más teórico, como los de Poincaré, Hausdorff, Julia o Fatou, pero otros consistieron en el descubrimiento de extraños conjuntos, calificados por algunos como monstruosos, que vistos retrospectivamente resultan ser fractales.

Nota: Benoît B. Mandelbrot, algo de su vida.

Benoît B. Mandelbrot (1924- ), matemático polaco, nacionalizado francés, que desarrolló la geometría fractal como campo independiente de las matemáticas. Nació en Varsovia y estudió en universidades de Francia y de Estados Unidos, obteniendo el doctorado en matemáticas en la Universidad de París en 1952. Ha enseñado economía en la Universidad de Harvard, ingeniería en Yale, fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 ha trabajado como miembro de IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional. Cada vez tiene más aplicaciones en diferentes áreas de la ciencia y de la tecnología.

Benoît Mandelbrot, nacido en 1924, es el fundador de una nueva disciplina matemática, la geometría fractal, para la que inventó denominación y con la que se ha dedicado a describir los fenómenos más variopintos, desde la forma de costas, montañas y nubes hasta la estructura del ruido en redes de comunicaciones, la variación de los precios en los sistemas económicos o el movimiento browniano.

Es además el descubridor de uno de los objetos más famosos de la matemática, un conjunto que lleva su nombre, el conjunto de Mandelbrot, y que es considerado por algunos como el objeto matemático más complicado que existe.